线性方程组方向的论证数据更具体：“构建 128 元线性方程组（方程数 128，变量数 128），解空间规模为 2^128 组（计算过程：2^128=），满足密钥复杂度指标；若增加个约束方程，解空间规模降至 2^118 组，仍满足需求且可降低密钥分发难度，建议采用 138 方程 - 128 变量的方程组模型”，参数设计精准。
专家评审意见栏显示：“向量空间方向的维度选择需兼顾安全性与硬件实现 —— 维度 8 时，抗差分分析效果达标（破解成功率 0.1%），且向量运算的电路实现复杂度适中；维度时虽安全性更高，但电路需增加 30% 晶体管，成本过高，建议确定维度 8 为最优选择”，为后续研究提供参数依据。
档案末尾 “研究方向确认表” 有李工、周工及 3 位专家的签名，日期为 1963 年 6 月日，标志线性代数核心应用方向正式确定，理论研究进入具体推导阶段。
四、矩阵变换在数据加密中的理论推导
确定方向后，李工团队率先开展矩阵变换的理论推导，核心目标是构建 “明文 - 矩阵 - 密文” 的变换逻辑：首先将明文按字节分组（每 4 字节构成一个 4×1 列向量），再与 4×4 可逆变换矩阵相乘，得到中间密文向量，重复 3 次变换（使用不同变换矩阵），最终输出密文，确保数据充分混淆。
变换矩阵的设计是推导关键：团队需确保矩阵可逆（保障密文可解密）、元素取值符合电子电路运算范围（0-1 二进制，便于晶体管逻辑实现）。通过筛选，确定首批 3 个变换矩阵（m1、m2、m3），如 m1=[[1,0,1,0],[0,1,0,1],[1,1,0,0],[0,0,1,1]]，经验证可逆且变换后数据混淆度达标。
推导过程中解决 “数据溢出” 问题：初期推导发现，矩阵乘法结果可能超出 8 位字节范围（导致数据失真），团队引入 “模 256 运算”（二进制下模 2^8），将乘法结果控制在 0-255 之间，确保数据完整性 —— 测试显示，加入模运算后，3 次变换的数据失真率从 12% 降至 0，完全符合加密要求。
推导成果通过 “理论仿真” 验证：郑工搭建简易仿真平台，输入 100 组明文（含军事指令、日常通信文本），应用矩阵变换理论进行加密，结果显示：密文与明文的信息熵差值达 4.2 bit（差值越大混淆度越高），且解密过程（逆矩阵乘法）可 100% 恢复明文，验证了推导的正确性。
1963 年 9 月，团队完成《矩阵变换加密理论推导报告》，包含变换逻辑流程图、3 个变换矩阵参数、模运算优化方案、仿真验证数据，共页，为后续算法的电路实现提供了详细的理论依据，如硬件团队可根据矩阵参数设计乘法运算模块。
五、线性方程组在密钥生成中的理论构建
周工团队同步推进线性方程组的理论构建，核心是设计 “基于超定线性方程组的密钥生成模型”：超定方程组（方程数 138，变量数 128）的解空间即为密钥集合，每个解对应一组 128 位密钥，既满足复杂度要求，又通过多余方程减少密钥冗余（避免无效密钥）。
方程组的系数矩阵设计兼顾 “安全性与求解效率”：系数矩阵元素随机选取 0 或 1（符合二进制运算），且确保任意 128 个方程线性无关（保障解空间规模）。团队通过高斯消元法验证，设计的系数矩阵秩为 128，解空间规模达 2^128 组，完全满足密钥复杂度指标。
密钥分发理论同步推导：针对多节点密钥同步需求（10 节点延迟≤18 秒），团队提出 “方程组部分参数共享” 机制 —— 核心节点（指挥车）掌握完整系数矩阵，其他节点（作战车）仅掌握部分参数，通过传输少量关键参数即可生成相同密钥，减少传输数据量，提升同步速度。
推导中解决 “方程组求解耗时” 问题：初期使用传统高斯消元法，求解一组密钥需 0.5 秒，无法满足 “10 节点秒同步” 要求。团队优化求解算法，引入 “稀疏矩阵求解”（系数矩阵中 70% 元素为 0），将求解时间缩短至 0.15 秒，10 节点同步总延迟可控制在秒内，优于指标要求。
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1963 年月，《线性方程组密钥生成理论报告》完成，包含方程组参数（138×128 系数矩阵）、求解优化算法、密钥分发机制、同步延迟测试数据，共页。报告中明确，该理论可直接应用于 “73 式” 的密钥管理模块，硬件实现仅需增加一个简易高斯消元